Question

已知函数，．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＜1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当时，函数f（x）在（0，2]上的最大值为M，若存在x∈[1，2]，使得g（x）≥M成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-x+lnx，
f（1）=-1+ln1=-1，，f'（1）=0．
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y=-1．
（Ⅱ），
①当a=0时，解，得0＜x＜1，解，得x＞1，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为在（1，+∞）；
②a≠0时，令f'（x）=0得x=1或，
i）当0＜a＜1时，，当x变化时f（x）、f′（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，1））	1
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		减		增

函数f（x）的递增区间为（0，1），，递减区间为；
ii）当a＜0时，，
在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0，
所以函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数，
所以，
存在x∈[1，2]，使，即存在x∈[1，2]，使，
只需函数g（x）在[1，2]上的最大值大于等于，
所以有，即，解得：，
所以b的取值范围是．
分析：（Ⅰ）当a=0时求出f（x），f′（x），f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）求出导数f′（x），分情况讨论：①a=0时，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即得f（x）的单调区间；②a≠0时，解方程f′（x）=0得x=1或x=，按照1与的大小讨论，根据f′（x）的符号即可求得其单调区间；
（Ⅲ）当时，借助（Ⅱ）问单调性易求得M，存在x∈[1，2]，使，等价于，由二次函数的性质可得不等式组，解出即可；
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、某点处切线方程、在闭区间上的最值等知识，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，把存在性问题转化为最值问题是解决（Ⅲ）问的关键．