Question

15．下列4个命题：
①?x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．
②?k∈[0，8），y=log₂（kx²+kx+2）的值域为R．
③“存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”的否定是”不存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”
④“若x∈（1，5），则f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2”的否命题是“若x∈（-∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+$\frac{1}{x}$＜2”
其中真命题的序号是①④．（请将所有真命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据指数函数和对数函数的性质进行判断．
②根据对数函数的性质进行判断．
③根据特称命题的否定是全称命题进行判断．
④根据否命题的定义进行判断．

解答 解：①当x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞0，log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x＜0．
∴?x∈（0，1），（$\frac{1}{2}$）^x＞log${\;}_{\frac{1}{2}}}$x．故①正确，
②当k=0时，满足k∈[0，8），但此时y=log₂（kx²+kx+2）=log₂2=1，此时函数的值域为{1}，不是R．故②错误
③“存在x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x≤5”的否定是”任意x∈R，（${\frac{1}{2}}$）^x+2x＞5”，故③错误，
④“若x∈（1，5），则f（x）=x+$\frac{1}{x}$≥2”的否命题是“若x∈（-∞，1]∪[5，+∞），则f（x）=x+$\frac{1}{x}$＜2”，正确，故④正确，
故答案为：①④．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．