Question

（2012•许昌三模）在可行域内任取一点（x，y），如果执行如图的程序框图，那么输出数对（x，y）的概率是（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  3a

• C．

  1

  2

• D．

  1

  2a

Answer 1

分析：作出题中可行域所对应的平面区域，如图中的△AOB及其内部．事件“输出数对（x，y）”对应的图形是△AOB中位于抛物线y=ax²的上方部分，如图中的阴影，利用定积分公式求出阴影部分面积，再用这个面积除以△AOB的面积，即可得到本题的概率．

解答：解：作出可行域

0≤x≤ 1 a 0≤y≤x

对应的平面区域，
如图是△AOB及其内部，其中A（

1

a

，

1

a

），B（

1

a

，0）
当输入的数对（x，y）满足y≥ax²时，判断框的结论为“是”，从而输出该数对
因此，要输出数对（x，y），必须满足y≥ax²，在△AOB中位于抛物线y=ax²的上方部分，
如图中阴影部分
求出阴影部分面积为S₁=

∫

1 a 0

（x-ax²）dx=（

1

2

x²-

1

3

ax³）

|

1 a 0

=

1

6a2

∵△AOB面积S₂=

1

2

|OB|×|AB|=

1

2a2

∴输出数对（x，y）的概率P=

S1

S2

=

1

3

故选A

点评：本题以一个几何概型的计算为载体，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、定积分的几何意义和程序框图等知识点，属于基础题．