[题目]如图.某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成.交通部门拟在隧道顶部安装通风设备(视作点).为了固定该设备.计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外.再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽.设备要求安装在半圆内部.所使用的钢管总长度为.(1)①设.将表示为关于的函数,②设.将表示为关于的函数,中的一个函数关系式.说明如何设计.所用的钢管材� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设备（视作点），为了固定该设备，计划除从隧道最高点处使用钢管垂直向下吊装以外，再在两侧自两点分别使用钢管支撑.已知道路宽，设备要求安装在半圆内部，所使用的钢管总长度为.

（1）①设，将表示为关于的函数；

②设，将表示为关于的函数；

（2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？

【答案】（1）①；②（2）见解析

【解析】

（1）延长交于点，利用解直角三角形可得且.

（2）选取②中的函数关系式，利用导数可求其最小值.

（1）延长交于点，则，且为的中点，

所以，由对称性可知，.

①若，则，，

在中，，

所以，

②若，则，

在中，，，

所以，

所以.

（2）选取②中的函数关系式，，

记，

则由及可得，，

当时，此时单调递减，

当时，此时单调递增，

所以当时，取得最小值，

从而钢管总长度为取得最小值，即所用的钢管材料最省.

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