Question

已知等差数列{a_n}（n∈N⁺）中，a_n+1＞a_n，a₂a₉=232，a₄+a₇=37
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{a_n}的项重新组合，得到新数列{b_n}，具体方法如下：b₁=a₁，b₂=a₂+a₃，b₃=a₄+a₅+a₆+a₇，b₄=a₈+a₉+a₁₀+…a₁₅，…，依此类推，第n项b_n由相应的{a_n}中2^n-1项的和组成，求数列{b_n-

1

4

•2n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1＞a_n，结合a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37，利用等差数列的性质可求a₂，a₉，进而可求公差d，即可求解通项
（Ⅱ）由题意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，结合等差数列与等比数列的求和公式可求b_n，即可求解

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1＞a_n，可得公差d＞0
∵a₂a₉=232，a₄+a₇=a₂+a₉=37
∴a₉＞a₂
∴

a2=8 a9=29

设公差为d，则d=

a9-a2

9-2

=

29-8

9-2

=3
∴a_n=a₂+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）
（Ⅱ）由题意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，
=（3•2^n-1+2）+（3•2^n-1+5）+（3•2^n-1+8）+…+[3•2^n-1+（3•2^n-1-1）]
=2^n-1×3•2^n-1+[2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）]…（6分）
而2+5+8+…+（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的2^n-1项的和，
所以2+5+8+…++（3•2^n-1-4）+（3•2^n-1-1）=2n-1×2+

2n-1(2n-1-1)

2

×3
=3•22n-3+

2n

4

所以bn=3•22n-2+3•22n-3+

2n

4

…（10分）
所以bn-

1

4

•2n=

9

8

•22n
所以Tn=

9(4+16+64+…+22n)

8

=

9

8

×

4(1-4n)

1-4

=

3(4n-1)

2

…（12分）

点评：本题考查等差数列的性质，等差数列与等比数列的求和公式的应用，本题解题的关键是得到方程组，通过解方程组得到数列的项，求出公差，写出通项，及分组求和方法的应用