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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的动点，
当 $数学公式$ 最小时，tan∠APD 的值为________．

$\text{[math]}$
分析：由余弦定理可得 1=AP²+DP²-2 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用基本不等式可得当 $\text{[math]}$ 最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用倍角的正切公式求得tan∠APD 的值．
解答：∵ $\text{[math]}$ =PD•PA cos∠APD，△PDA中，由余弦定理可得
1=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，当且仅当AP=DP 时，等号成立．
故当 $\text{[math]}$ 最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴tan∠APD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查余弦定理，基本不等式，二倍角的正切公式的应用，求出tan $\text{[math]}$ 的值，是解题的关键．

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如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

AB，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°．
（1）求证：DE⊥PC；
（2）求直线PD与平面BCDE所成角的大小；
（3）求点D到平面PBC的距离．

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，AB=BC=1，PA=AD=2．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）求证：CD⊥平面PAC．

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如图，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=

AB=a，E是AB的中点，将△ADE沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角P-DE-C的大小为120°
（1）求证：DE⊥PC；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）求二面角D-PC-B的大小．

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的动点，当

•

最小时，tan∠APD的值为

．

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如图直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AD∥BC，E，F是AB边的四等分点，AB=4，BC=BF=AE=1，AD=3，P为在梯形区域内一动点，满足PE+PF=AB，记动点P的轨迹为Γ．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求轨迹Γ在该坐标系中的方程；
（2）判断轨迹Γ与线段DC是否有交点，若有交点，求出交点位置；若没有交点，请说明理由；
（3）证明D，E，F，C四点共圆，并求出该圆的方程．

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如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的动点，当最小时，tan∠APD 的值为________．

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是BC上的动点，
当 $数学公式$ 最小时，tan∠APD 的值为________．