Question

20．已知函数y=acos（2x+$\frac{π}{3}$）+3，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值为4，求实数a的值．

Answer 1

分析 由条件利用余弦函数的定义域和值域，可得-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．再分类讨论，根据函数的最大值为4，求得实数a的值．

解答 解：∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴-1≤cos（2x+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$．
当a＞0，故当cos（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$时，y取得最大值$\frac{1}{2}$a+3．
∴$\frac{1}{2}$a+3=4，∴a=2．
当a＜0，当cos（2x+$\frac{π}{3}$）=-1 时，y取得最大值为-a+3=4，
∴a=-1，
综上可知，实数a的值为2或-1．

点评 本题主要考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．