Question

11．已知cosx+siny=$\frac{1}{2}$，求z=asiny+cos²x，（a∈R）的最大值．

Answer 1

分析 由已知把siny用含有x的三角函数代替，然后利用换元法结合二次函数求得z的最大值．

解答 解：∵cosx+siny=$\frac{1}{2}$，∴siny=$\frac{1}{2}$-cosx，
∴z=asiny+cos²x=$\frac{a}{2}$-acosx+cos²x，
∵-1≤siny≤1，∴-1≤$\frac{1}{2}$-cosx≤1，得-$\frac{1}{2}$≤cosx≤1，
令t=cosx，则$z={t^2}-at+\frac{a}{2}$$（{-\frac{1}{2}≤t≤1}）$，
对称轴$t=\frac{a}{2}$，①当$\frac{a}{2}≤\frac{1}{4}$，即$a≤\frac{1}{2}$时，${z_{max}}={1^2}-a+\frac{a}{2}=1-\frac{a}{2}$；
②当$\frac{a}{2}＞\frac{1}{4}$，即$a＞\frac{1}{2}$时，${z_{max}}={（{-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=a+\frac{1}{4}$．
综上所述：${z_{max}}=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{a}{2}，a≤\frac{1}{2}\\ a+\frac{1}{4}，a＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查与三角函数有关的最值，考查了换元法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．