Question

函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f′(x)是减函数,且f′(x)＞0,设x₀∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程,并设函数g(x)=kx+m.

(1)用x₀、f(x₀)、f′(x₀)表示m;

(2)证明当x₀∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);

(3)若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立,其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b 所满足的关系.

Answer 1

解析：本小题考查导数概念的几何意义,函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.

答案：(1)解:m=f(x₀)-x₀f′(x₀).?

(2)证明:令h(x)=g(x)-f(x),则h′(x)=f′(x₀)-f′(x),h′(x₀)=0.?

因为f′(x)递减,所以h′(x)递增.因此,当x＞x₀时,h′(x)?＞0;

当x＜x₀时,h′(x)＜0.?

所以x₀是h(x)唯一的极值点,且是极小值点,可知?h(x)?的最小值为0,因此h(x)≥0,即g(x)≥f(x).?

(3)解法一:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0对任意x∈成立的充足条件是.?

另一方面,由于f(x)= 满足前述题设中关于函数y=f(x)的条件,利用(2)的结果可知,ax+b≥的充要条件是:过点(0,b)与曲线y=相切的直线的斜率不大于a,该切线的方程为y=(2b) x+b.?

于是ax+b≥的充要条件是a≥(2b).?

综上,不等式x²+1≥ax+b≥对任意x∈成立的充足条件是.                                             ①?

显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:?

不等式(2b)≤2(1-b)②有解,解不等式②得.③?

因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数a与b所满足的关系.?

解法二:0≤b≤1,a＞0是不等式成立的必要条件,以下讨论设此条件成立.?

x²+1≥ax+b,即x²-ax+(1-b)≥0对任意x∈成立的充足条件是.?

令φ(x)=ax+b-,于是ax+b≥对任意x∈成立的充足条件是

,得x=a^-3 .?

当0＜x＜a^-3 时,φ′(x)＜0;?

当x＞a^-3 时,φ′(x)＞0.?

所以,当x=a^-3?时,φ(x)取最小值.?

因此φ(x)≥0成立的充要条件是φ(a^-3)≥0,即a≥(2b) .

综上,不等式x²+1≥ax+b≥对任意x∈成立的充足条件是.                                    ①?

显然,存在a、b使①式成立的充要条件是:不等式(2b)≤2(1-b)②有解.?

解不等式②得≤b≤.                     ③?

因此,③式即为b的取值范围,①式即为实数a与b所满足的关系.