Question

11．已知圆C（m，0）（m＜3），半径为$\sqrt{5}$，A（3，1）是圆C与椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个公共点，且F₁，F₂分别是椭圆E的左、右焦点．
（1）求实数m的值；
（2）若点P（4，4），试探究斜率为k的直线PF₁与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线PF₁的方程，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件设出圆的方程，将A点的坐标代入即可求得m的值，根据m的取值范围，即可求得m的值；
（2）设出直线方程，假设与圆相切，求得k的值，并求得与x轴的交点，排除k的值，求得直线方程，求得c的值，根据椭圆的定义求得a的值，即可求得椭圆方程及直线PF₁的方程．

解答 解：（1）由已知可设圆的方程为（x-m）²+y²=5，m＜3，
将点的坐标代入圆C的方程，得到（3-m）²+1=5，
解得：m=1或m=5，
∵m＜3，
∴m=1，
（2）直线PF₁与圆C相切，依题意设直线PF₁的方程为y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，
若直线PF₁与圆C相切，则$\frac{丨k-0-4k+4丨}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴4k²-24k+11=0，解得：k=$\frac{11}{2}$或k=$\frac{1}{2}$，
当k=$\frac{11}{2}$时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为$\frac{36}{11}$，不合题意，舍去；
当k=$\frac{1}{2}$时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为-4，满足题意，此时直线PF₁的方程为：x-2y+4=0；
∴c=4，F₁（-4，0），F₂（4，0），
∴由椭圆的定义可知：2a=丨AF₁丨+丨AF₂丨=$\sqrt{（3+4）^{2}+1}$+$\sqrt{（3-4）^{2}+1}$=5$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴a=3$\sqrt{2}$，a²=18，
∴b²=a²-c²=2，
∴直线PF₁与圆C相切时，直线PF₁的方程为x-2y+4=0，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．