Question

6．已知直线y=k（x-m）与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x²+y²-4x=0上，则p=2．

Answer 1

分析 设出D的坐标，求出OD的斜率，利用OD⊥AB于D，动点D的坐标满足方程x²+y²-4x=0，确定x的值，代入k•k′=-1，化简即可求出m的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²m+2p）x+k²m²=0，
由韦达定理可知：x₁•x₁=m²，
由OA⊥OB，则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁•x₁+y₁•y₁=0，即m²-2pm=0，解得：m=2p，
∵点D在直线AB：y=k（x-m）上，
∴设D坐标为（x，k（x-m）），
则OD的斜率为k′=$\frac{k（x-m）}{x}$；
又∵OD⊥AB，AB的斜率为k，
∴k•k′=$\frac{{k}^{2}（x-m）}{x}$=-1，即k（x-m）=-$\frac{x}{k}$；
又∵动点D的坐标满足x²+y²-4x=0，即x²+[k（x-m）]²-4x=0，
将k（x-m）=-$\frac{x}{k}$代入上式，得x=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$；
再把x代入到$\frac{{k}^{2}（x-m）}{x}$=-1中，
化简得4k²-mk²+4-m=0，即（4-m）•（k²+1）=0，
∵k²+1≠0，
∴4-m=0，
∴m=4．
∴p=2
故答案为：2．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了分析问题和解决问题的能力，是中档题．