Question

4．设O是△ABC所在平面上一点，H是△ABC的垂心，并且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，∠A=60°，∠B=45°，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$．
（1）求△ABC的外接圆半径的长；
（2）求$\overrightarrow{|OH|}$．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用正弦定理能求出△ABC的外接圆半径的长．
（2）由H是△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，得O是△ABC的外心，由此利用$\overrightarrow{OH}$²=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）²能求出|$\overrightarrow{OH}$|的长．

解答 解：（1）设△ABC的外接圆半径为R，
∵△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，|$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$．
∴2R=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，解得R=2，
∴△ABC的外接圆半径的长为2．
（2）∵H是△ABC的垂心，且$\overrightarrow{OH}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，
∴O是△ABC的外心，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=2，
∵∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=75°，
∴$\overrightarrow{OH}$²=（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）²
=${\overrightarrow{OA}}^{2}+{\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OC}}^{2}$+2$|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|•cos150°$+2|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OC}$|•cos90°+2$|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|•cos120°$
=4+4+4-4$\sqrt{3}$-4
=8-4$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{OH}$|=$\sqrt{8-4\sqrt{3}}$=2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$．

点评 本题考查三角形外接圆半径的求法，考查向量的模的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量性质的合理运用．