Question

14．已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1{-a}_{n}^{2}}$．
（1）求证数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是等差数列；
（2）若c_n=$\frac{{a}_{n}{-a}_{n}^{2}}{{2}^{n}（1-2{a}_{n}）（1-3{a}_{n}）}$，求数列{c_n}的前n项和S_n≥$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n=1-b_n，代入条件，化简变形，可得b_n+1-1=$\frac{{b}_{n}-1}{2-{b}_{n}}$，再取倒数，由等差数列的定义，即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式，求得a_n=$\frac{1}{n+3}$，代入可得c_n=$\frac{n+2}{{2}^{n}（n+1）n}$，计算c₁，由c_n＞0，即可得证．

解答 证明：（1）a₁=$\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，
可得a_n=1-b_n，b₁=$\frac{3}{4}$，
即有b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1{-a}_{n}^{2}}$=$\frac{{b}_{n}}{1-（1-2{b}_{n}+{{b}_{n}}^{2}）}$=$\frac{1}{2-{b}_{n}}$，
即b_n+1-1=$\frac{{b}_{n}-1}{2-{b}_{n}}$，
则$\frac{1}{{b}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{b}_{n}-1}$-1，
即有数列{$\frac{1}{{b}_{n}-1}$}是首项为$\frac{1}{{b}_{1}-1}$=-4，公差为-1的等差数列；
（2）由（1）可得$\frac{1}{{b}_{n}-1}$=-4-（n-1）=-3-n，
由于a_n=1-b_n，可得a_n=$\frac{1}{n+3}$，
c_n=$\frac{{a}_{n}{-a}_{n}^{2}}{{2}^{n}（1-2{a}_{n}）（1-3{a}_{n}）}$=$\frac{\frac{1}{n+3}-\frac{1}{（n+3）^{2}}}{{2}^{n}（1-\frac{2}{n+3}）（1-\frac{3}{n+3}）}$
=$\frac{n+2}{{2}^{n}（n+1）n}$，
当n=1时，c₁=$\frac{3}{4}$，且c_n＞0，
则前n项和S_n≥c₁=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项和求和，注意运用构造数列的方法，考查等差数列的定义和通项公式的运用，属于中档题．