【题目】已知函数.
(1)当时,求
的极值;
(2)讨论的单调性.
【答案】(1)当时,
的极大值为9;当
时,的极小值为
(2)①当时,
在R是增函数.
②当时,
的单调增区间为:
,
;
单调减区间为:
【解析】
(1)代入,求导后得
,再列表分析各区间上导函数的正负与原函数的单调性与极值即可.
(2)求导后再根据导函数有无零点讨论a的取值,再求解导数大于零,得递增区间,导数小于零得递减区间.
解:(1)当时,
,则
令得
,
得
,
则x,,
的关系如下:
x | 1 | ||||
0 | 0 | ||||
增 | 9 | 减 | 增 |
所以,当时,
的极大值为9;当
时,的极小值为
.
(2),
,
①当时,
,且仅当
,
时
,所以
在R是增函数,
②当时,
有两个根,
,
,
当时,得
或
,所以
的单调增区间为:
,
;
当时,得
,所以
的单调减区间为:
.
综上所述, ①当时,
在R是增函数.
②当时,
的单调增区间为:
,
;
单调减区间为:
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】三棱柱中,
为
的中点,点
在侧棱
上,
平面
(1) 证明:是
的中点;
(2) 设,四边形
为边长为4正方形,四边形
为矩形,且异面直线
与
所成的角为
,求该三棱柱
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】东西向的铁路上有两个道口、
,铁路两侧的公路分布如图,
位于
的南偏西
,且位于
的南偏东
方向,
位于
的正北方向,
,
处一辆救护车欲通过道口前往
处的医院送病人,发现北偏东
方向的
处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要
分钟,救护车和火车的速度均为
.
(1)判断救护车通过道口是否会受火车影响,并说明理由;
(2)为了尽快将病人送到医院,救护车应选择、
中的哪个道口?通过计算说明.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形中,
为
的中点,将
沿直线
翻折成
,连结
,
为
的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A.存在某个位置,使得
B.翻折过程中,的长是定值
C.若,则
D.若,当三棱锥
的体积最大时,三棱锥
的外接球的表面积是
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形,其中:,
,
,
长1千米,
长
千米,公园内有一个形状是扇形的天然湖泊
,扇形
以
长为半径,弧
为湖岸,其余部分为滩地,B,D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道:线段
线段
弧
,其中Q在线段
上(异于线段端点),
与弧
相切于P点(异于弧端点]根据市场行情
,
段的建造费用是每千米10万元,湖岸段弧
的建造费用是每千米
万元(步行道的宽度不计),设
为
弧度观光步行道的建造费用为
万元.
(1)求步行道的建造费用关于
的函数关系式,并求其走义域;
(2)当为何值时,步行道的建造费用最低?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点E在BC边的何处,都有;
(3)当为何值时,
与平面
所成角的大小为45°.
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