【题目】如图,矩形中,
为
的中点,将
沿直线
翻折成
,连结
,
为
的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A.存在某个位置,使得
B.翻折过程中,的长是定值
C.若,则
D.若,当三棱锥
的体积最大时,三棱锥
的外接球的表面积是
【答案】BD
【解析】
对于选项A,取中点
,取
中点
,连结
,
,通过假设
,推出
平面
,得到
,则
,即可判断;
对于选项B,在判断A的图基础上,连结交
于点
,连结
,易得
,由余弦定理,求得
为定值即可;
对于选项C,取中点
,
,
,由线面平行的性质定理导出矛盾,即可判断;
对于选项D,易知当平面与平面
垂直时,三棱锥
的体积最大,说明此时
中点
为外接球球心即可.
如图1,取中点
,取
中点
,连结
交
于点
,连结
,
,
,
则易知,
,
,
,
,
由翻折可知,,
,
对于选项A,易得,则
、
、
、
四点共面,由题可知
,若
,可得
平面
,故
,则
,不可能,故A错误;
对于选项B,易得,
在中,由余弦定理得
,
整理得,
故为定值,故B正确;
如图2,取中点
,取
中点
,连结
,
,
,
,,
对于选项C,由得
,若
,易得
平面
,故有
,从而
,显然不可能,故C错误;
对于选项D,由题易知当平面与平面
垂直时,三棱锥B1﹣AMD的体积最大,此时
平面
,则
,由
,易求得
,
,故
,因此
,
为三棱锥
的外接球球心,此外接球半径为
,表面积为
,故D正确.
故选:BD.
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【题目】“双11”促销活动中,某商场为了吸引顾客,搞好促销活动,采用“双色球”定折扣的方式促销,即:在红、黄的两个纸箱中分别装有大小完全相同的红、黄球各5个,每种颜色的5个球上标有1,2,3,4,5等5个数字,顾客结账时,先分别从红、黄的两个纸箱中各取一球,按两个球的数字之和为折扣打折,如,就按3折付款,并规定取球后不再增加商品.按此规定,顾客享有6折及以下折扣的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{anbn}的前n项和为Tn(n∈N*).
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【题目】如图,点T为圆上一动点,过点T分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,连接BA延长至点P,使得
,点P的轨迹记为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点A,B分别位于x轴与y轴的正半轴上,直线AB与曲线C相交于M,N两点,试问在曲线C上是否存在点Q,使得四边形OMQN为平行四边形,若存在,求出直线l方程;若不存在,说明理由.
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【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验960次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验.这样,该组
个人的血总共需要化验
次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人中每个人的血化验次数为
,求
的分布列;
(2)设.试比较方案②中,
分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数).
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【题目】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为
保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为
A.B.
C.D.
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【题目】如图,矩形所在平面与等边
所在平面互相垂直,
,
分别为
,
的中点.
(1)求证:平面
.
(2)试问:在线段上是否存在一点
,使得平面
平面
?若存在,试指出点
的位置,并证明你的结论:若不存在,请说明理由.
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