【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次乙肝普查.为此需要抽验960人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验960次.方案②:按个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验.这样,该组
个人的血总共需要化验
次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人中每个人的血化验次数为
,求
的分布列;
(2)设.试比较方案②中,
分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数).
【答案】(1)分布列见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)易得可能的取值为
,再求分布列即可.
(2)根据(1)中的分布列,分别求得时的数学期望,再分析三种情况下需要化验的总次数,从而得到最多可以减少的次数即可.
(1)设每个人的血呈阴性反应的概率为,则
.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为
,呈阳性反应的概率为
.
依题意可知所以X的分布列为:
(2)方案②中.
结合(1)知每个人的平均化验次数为:
.
所以当时,
,此时960人需要化验的总次数为662次,
时,
,此时960人需要化验的总次数为580次,
时,
,此时960人需要化验的次数总为570次,
即时化验次数最多,
时次数居中,
时化验次数最少.
而采用方案①则需化验960次,
故在这三种分组情况下,相比方案①,当时化验次数最多可以平均减少960-570=390次.
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【题目】如图,矩形中,
为
的中点,将
沿直线
翻折成
,连结
,
为
的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A.存在某个位置,使得
B.翻折过程中,的长是定值
C.若,则
D.若,当三棱锥
的体积最大时,三棱锥
的外接球的表面积是
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【题目】某医院治疗白血病有甲、乙两套方案,现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计,得到其等高条形图如图所示(其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为.
(1)补充完整列联表中的数据,并判断是否有
把握认为甲乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响;
复发 | 未复发 | 总计 | |
甲方案 | |||
乙方案 | 2 | ||
总计 | 70 |
(2)为改进“甲方案”,按分层抽样组成了由5名患者构成的样本,求随机抽取2名患者恰好是复发患者和未复发患者各1名的概率.
附:
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 |
,
.
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【题目】如图,某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形,其中:,
,
,
长1千米,
长
千米,公园内有一个形状是扇形的天然湖泊
,扇形
以
长为半径,弧
为湖岸,其余部分为滩地,B,D点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道:线段
线段
弧
,其中Q在线段
上(异于线段端点),
与弧
相切于P点(异于弧端点]根据市场行情
,
段的建造费用是每千米10万元,湖岸段弧
的建造费用是每千米
万元(步行道的宽度不计),设
为
弧度观光步行道的建造费用为
万元.
(1)求步行道的建造费用关于
的函数关系式,并求其走义域;
(2)当为何值时,步行道的建造费用最低?
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【题目】已知椭圆C:(
)的左、右焦点分别为
,
且椭圆上存在一点P,满足.
,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知A,B分别是椭圆C的左、右顶点,过的直线交椭圆C于M,N两点,记直线
,
的交点为T,是否存在一条定直线l,使点T恒在直线l上?
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