Question

7．在等差数列{a_n}中，a₄a₇=-8，a₃=4，且a₈为偶数．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a₃=4及-8=a₄a₇可知d=-2或d=-3，进而可知d=-2，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$，利用等比数列的求和公式计算可知S_n=2⁵-$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$，通过0＜$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$≤2⁴计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₃=4，
∴-8=a₄a₇=（4+d）（4+4d），
解得：d=-2或d=-3，
又∵a₈为偶数，
∴d=-2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=a₃+（n-3）d=-2n+10；
（2）由（1）可知b_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=2^-n+5=$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$，
∴S_n=2⁵•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2⁵-$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$，
∵0＜$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n}}$≤2⁴，
∴S_n∈[2⁴，2⁵）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．