Question

如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.

（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证法一  因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以AB=AD=AC=a，  在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2   知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. 因为 　　　　 所以  、、共面. 又PB平面EAC，所以PB//平面EAC. 证法二  同证法一得PA⊥平面ABCD. 连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE. 又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解  作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD. 作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角. 又E是PD的中点，从而G是AD的中点， 所以