Question

【题目】如图，三角形ABC的外接圆的O半径为，CD垂直于外接圆所在的平面，

（1）求证：平面 平面．

（2）试问线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）满足条件的点M存在，且点M的坐标为。

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可证得AC⊥BC，CD⊥BC，利用线面垂直的判断定理有BC⊥平面ACD，然后利用面面垂直的判断定理可得平面ADC平面BCDE

(2)建立空间直角坐标系，结合题意可得满足条件的点M存在，且点M的坐标为。

试题解析：

（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB

∵BE=1， ∴ ，

从而

∵⊙的半径为，∴AB是直径，

∴AC⊥BC

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE

（2）建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，

则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则

易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则，再设 ，

即，从而…10分

设直线BM与平面ABD所成的角为，则：

解得，其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为