Question

A是由在[1，4]上有意义且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合；
①对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|
（1）设φ(x)=

2x+15

18

，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（2）设φ(x)=

x2+15

18

，x∈[1，2]，是否存在设x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），如存在，求出所有的x₀，如不存在请说明理由！

Answer 1

分析：（1）先根据x的范围求出φ（2x）的取值范围，判定是否满足φ（2x）∈（1，2），然后判定是否对任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|，从而得到结论；
（2）先假设存在，根据x₀=φ（2x₀）建立方程，然后解方程，最后求出满足条件的x₀，从而得到结论．

解答：证明：（1）因为x∈[1，2]，所以φ（2x）=

4x+15

18

，x∈[1，2]，

19

18

≤φ（2x）≤

23

18

∴φ（2x）∈（1，2）；
对任意的x₁，x₂∈[1，2]，
|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|

4x1+15

18

-

4x2+15

18

|=

2

9

||x₁-x₂|
取L=

2

9

∈（0，1），使|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L||x₁-x₂|成立
故φ（x）∈A；
（2）存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），
即x₀=

4x02+15

18

，x₀∈（1，2），
得4x₀²-18x₀+15=0，解得x₀=

9± 21

4

经检验x₀=

9- 21

4

∈（1，2），
所以存在x₀=

9- 21

4

∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀）．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域等有关知识，同时考查了计算能力，属于中档题．