Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱CC₁上的一个动点，平面BED₁交棱AA₁于点F．则下列命题中假命题是（　　）

A、存在点E，使得A₁C₁∥平面BED₁F

B、存在点E，使得B₁D⊥平面BED₁F

C、对于任意的点E，平面A₁C₁D⊥平面BED₁F

D、对于任意的点E，四棱锥B₁-BED₁F的体积均不变

Answer 1

分析：当E为CC₁的中点时，则F也为AA₁的中点，可证A₁C₁∥平面BED₁F，判断A是真命题；
用反证法证明不存在点E，使得B₁D⊥平面BED₁F，判断B是假命题；
根据对于任意的点E，都有BD₁⊥平面A₁C₁D，判断C是真命题；
根据VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，而两个三棱锥的体积为定值，判断D是真命题．

解答：解：对A，当E为CC₁的中点时，则F也为AA₁的中点，∴EF∥A₁C₁，∴A₁C₁∥平面BED₁F；故A为真命题；
对B，假设B₁D⊥平面BED₁F，则B₁D在平面BCC₁B₁和平面ABB₁A₁上的射影B₁C，B₁A分别与BE，BF垂直，
可得E与C₁重合，F与A₁重合，而B，A₁，C₁，D₁四点不共面，∴不存在这样的点E，故B为假命题你；
对C，∵BD₁⊥平面A₁C₁D，BD₁?平面BED₁F，∴平面A₁C₁D⊥平面BED₁F，故C是真命题；
对D，∵VB1-BED1F=VE-BB1D1+VF-BB1D1，∵CC₁∥AA₁∥平面BB₁D₁，∴四棱锥B₁-BED₁F的体积为定值，故D是真命题；
故选B．

点评：本题考查了空间中直线与平面的平行，垂直关系及棱锥的体积计算，解答的关键是熟练掌握线面垂直的性质定理与判定定理．