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精英家教网如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点
(1)若F为AA1的中点,求证:EF∥面DD1C1C;
(2)若F为AA1的中点,求二面角A-EC-D1的余弦值.
分析:(1)欲证EF∥面DD1C1C,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与面DD1C1C内一直线平行,连接A1B,根据中位线定理可知EF∥A1B,而A1B∥D1C则EF∥D1C,满足定理所需条件;
(2)设二面角A-EC-D1的大小为θ,设正方体的棱长为2,求出梯形EFD1C与梯形ADCE的面积,根据面积射影法求出二面角的平面角的余弦值即可.
解答:解:
(1)证明:连接A1B;
∵E为AB的中点,F为AA1的中点,
∴EF∥A1B (2分)
又A1B∥D1C∴EF∥D1C
∴EF∥面DD1C1C
(2)设二面角A-EC-D1的大小为θ,设正方体的棱长为2,
由(1)知F,D1,C,E四点共面,且四边形为等腰梯形,
S梯形EFD1C=
1
2
×
3
2
2
×3
2
=
9
2
S梯形ADCE=
1
2
×2×3=3

cosθ=
S梯形ADCE
S梯形EFD1C
=
3
9
2
=
2
3
∴二面角A-EC-D1的余弦值为
2
3
点评:求二面角,关键是构造出二面角的平面角,常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角,然后再将其转化为二面角的平面角,也可利用面积射影法求出二面角的平面角.
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