Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，，是的中点.

（1）求证：；

（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出平面，进而可得出；

（2）利用二面角的定义得出，可计算出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.

（1）在梯形中，，，则，，

且，则，在中，，，

由余弦定理得，

，则，

平面，平面，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，，，所以，二面角的平面角为，

平面，平面，，

为的中点，，，

则，即，解得，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，

则，，，

设平面的法向量为，

由，令，则，，可得，

设直线与平面所成角为，则.