【题目】在平面直角坐标系中,抛物线的准线为,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为的一点,若点B到的距离等于.
(1)求抛物线C的方程,
(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线于点N,求证:以点N为圆心,以为半径的圆经过轴上的两个定点.
【答案】(1);(2)定点,
【解析】
(1) 由题意,得,则△BOF为等腰三角形,求出线段OF的中点的横坐标即可得到抛物线C的方程;
(2) 设切线m的方程为:,联立方程,借助韦达定理可得,再求出,表示以为半径的圆的方程即可得到两个定点.
(1)由题意,得,则△BOF为等腰三角形,
因为点B的横坐标为,所以线段OF的中点的横坐标为,
从而点F的横坐标为1,即,所以p=2,
故所求抛物线C的方程为;
(2)证明:设切线m的方程为:,由
(*)
由题意知,即
所以方程(*)的根为 ,从而,
直线OA的方程为
由,得,由,得,
所以以点N为圆心,以为半径的圆的方程为,
令,得,解得,
所以圆N经过x轴上的两个定点和.
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【题目】圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,则圆锥与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( )
A. B. C. D.
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【题目】国家统计局统计了我国近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标,也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况,并绘制了下面的折线统计图.
根据该折线统计图,下面说法错误的是
A. 这10年中有3年的GDP增速在9.00%以上
B. 从2010年开始GDP的增速逐年下滑
C. 这10年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长
D. 2013年—2018年GDP的增速相对于2009年—2012年,波动性较小
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【题目】已知抛物线的内接等边三角形的面积为(其中为坐标原点).
(1)试求抛物线的方程;
(2)已知点两点在抛物线上,是以点为直角顶点的直角三角形.
①求证:直线恒过定点;
②过点作直线的垂线交于点,试求点的轨迹方程,并说明其轨迹是何种曲线.
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【题目】数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
B.向左平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍横坐标不变
C.向右平移个单位长度,纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
D.向右平移个单位长度,纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
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【题目】某厂加工的零件按箱出厂,每箱有10个零件,在出厂之前需要对每箱的零件作检验,人工检验方法如下:先从每箱的零件中随机抽取4个零件,若抽取的零件都是正品或都是次品,则停止检验;若抽取的零件至少有1个至多有3个次品,则对剩下的6个零件逐一检验.已知每个零件检验合格的概率为0.8,每个零件是否检验合格相互独立,且每个零件的人工检验费为2元.
(1)设1箱零件人工检验总费用为元,求的分布列;
(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法,机器检验需要对每箱的每个零件作检验,每个零件的检验费为1.6元.现有1000箱零件需要检验,以检验总费用的数学期望为依据,在人工检验与机器检验中,应该选择哪一个?说明你的理由.
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【题目】已知椭圆:上任意一点到两个焦点的距离和为4,且离心率为.
(1)求椭圆的方程.
(2)过作互相垂直的两条直线分别与椭圆交于,和,,设中点为,中点为,试探究直线是否过定点?若是,求出该定点;若不是,说明理由.
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