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    【题目】已知椭圆：的离心率为.点在椭圆上，点，，的面积为，为坐标原点.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若直线交椭圆于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，且，证明：的面积是定值，并求此定值.

    【答案】（1）（2）证明见解析；定值为

    【解析】

    （1）根据点在椭圆上，点，，的面积为，得到求解.

    （2）分直线的斜率不存在时，设直线：（且），直接求得M，N的坐标求解.当直线的斜率存在时，设点，，直线：，与联立，得到m，k的关系，再利用弦长公式求得，以及原点到直线的距离，代入求解.

    （1）由已知得，∴，

    又，∴，∴椭圆：.

    （2）当直线的斜率不存在时，设直线：（且），代入，得，

    则，∴，则，

    当直线的斜率存在时，设点，，直线：，代入，

    得，∴，

    ，，，

    ∴，满足，

    ，

    又原点到直线的距离，

    ∴，为定值.

    综上，的面积为定值，定值为.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如下表：

    M

    900

    700

    300

    100

    y

    0.5

    3.5

    6.5

    9.5

    该省某市2019年12月份AQI指数M的频数分布表如下：

    M

    频数

    3

    6

    12

    6

    3

    （1）设，若x与y之间具有线性关系，试根据上述数据求出y关于x的线性回归方程；

    （2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数的相关关系如下表：

    M

    日均收入（元）

    -2000

    -1000

    2000

    6000

    8000

    估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入．

    附参考公式：，其中

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：

    考试分数

    频数

    5

    10

    15

    5

    10

    5

    赞成人数

    4

    6

    9

    3

    6

    4

    （1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？

    （2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.

    参考公式及数据：，.

    0.100

    0.050

    0.025

    0.010

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f(x)＝ax2－(a2＋b)x＋aln x(a，b∈R)．

    (Ⅰ)当b＝1时，求函数f(x)的单调区间；

    (Ⅱ)当a＝－1，b＝0时，证明：f(x)＋ex>－x2－x＋1(其中e为自然对数的底数)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，，是的中点.

    （1）求证：；

    （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程(为参数)，直线的参数方程(为参数).

    （1）求曲线在直角坐标系中的普通方程；

    （2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线截直线所得线段的中点极坐标为时，求直线的倾斜角.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）

    A. B. C. D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．

    （1）试求抛物线的方程；

    （2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．

    ①求证：直线恒过定点；

    ②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在极坐标系中，曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆，曲线C2是以为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．

    （1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；

    （2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．

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