Question

下列命题中，真命题的是（　　）

• A．?x∈[0，

  π

  2

  ]，sinx+cosx≥2
• B．?x∈(

  π

  2

  ，π)，tanx＞sinx
• C．?x∈R，x²+x=-1
• D．?x∈R，x²+2x＞4x-3

Answer 1

分析：对于A：由于sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，即可进行判断；对于B：当?x∈(

π

2

，π)，tanx＜0，sinx＞0．从而得出它们的大小关系；对于C：由于方程x²+x=-1的△＜0，故此方程无实数解；对于D：先作差x²+2x-（4x-3）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥0，再进行判断即可．

解答：解：由于sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，故?x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx≥2是假命题，A错；
当?x∈(

π

2

，π)，tanx＜0，sinx＞0．故?x∈(

π

2

，π)，tanx＞sinx是假命题，B错；
由于方程x²+x=-1的△＜0，故此方程无实数解，故C错；
由于x²+2x-（4x-3）=x²-2x+3=（x-1）²+2≥0．∴x²+2x＞4x-3，故D正确．
故选D．

点评：本小题主要考查全称命题、特称命题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．