Question

【题目】如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求四边形面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；

（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

（1），，

为等边三角形，，椭圆的标准方程为．

（2）设四边形的面积为．

①当直线的斜率不存在时，可得，，

．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

设，，

联立得：，

，，．

，，，，

面积．

令，则，，

令，则，，

在定义域内单调递减，．

综上所述：四边形面积的取值范围是．