Question

已知函数（其中是自然对数的底数），，．

（1）记函数，且，求的单调增区间；

（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）的单调增区间为和；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数的单调区间即可；（2）讨论函数的单调性，去掉绝对值符号，构造函数，将问题转化为求函数的最值问题.

试题解析：（1）因为，

所以，

令，因为，得或，

所以的单调增区间为和；

（2）因为对任意且，均有成立，

不妨设，根据在上单调递增，

所以有对恒成立，

所以对，恒成立，

即对，恒成立，

所以和在都是单调递增函数，

当在上恒成立，

得在恒成立，得在恒成立，

因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，

解得．

当在上恒成立，

得在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上递减，在上单调递增，

所以在上取得最小值，

所以，

所以实数的取值范围为．

考点：1.导数的应用；2.不等式恒成立问题．