Question

已知a∈R，设函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（ II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．

Answer 1

（ I）a=2时，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切线方程为y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＜1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a=1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a＞1时，
①1＜a≤2时，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3时，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以当2＜a＜

23

9

时，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当

23

9

≤a＜3时，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3时，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在区间[2，3]上单调递减，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

综上所述：f(x)max=

9 2 - 3 2 a(a≤ 23 9 ) 2 3 (a＞ 23 9 )