Question

已知a∈R，设函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．
（ I） 若a=2，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（ II）求函数f（x）在区间[2，3]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求导数f'（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=3处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）求出函数的导函数，令导函数为0，求出导函数的根，求出函数在导函数的两个根处的函数值及区间的两个端点对应的函数值，从几个函数值中选出最大、最小值即可．

解答：解：（ I）a=2时，f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x，所以f′（x）=x²-3x+2
所以f′（3）=2，而f(3)=

3

2

，所以切线方程为y-

3

2

=2(x-3)
即y=2x-

9

2

（一般式：4x-2y-9=0）
（ II）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）
当a＜1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a=1时，函数f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当a＞1时，
①1＜a≤2时，在[2，3]上f′（x）＞0，即f（x）在区间[2，3]上单调递增，故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
②2＜a＜3时，在[2，a）上f′（x）＜0，在（a，3]上f′（x）＞0，故f（x）_max=max{f（2），f（3）}，而f(2)=

2

3

，f(3)=

9

2

-

3

2

a，
所以当2＜a＜

23

9

时，f（3）＞f（2），故f（x）_max=f(3)=

9

2

-

3

2

a
当

23

9

≤a＜3时，f（3）＜f（2），故f（x）_max=f(2)=

2

3

③a≥3时，在[2，3]上f′（x）≤0，即f（x）在区间[2，3]上单调递减，
故f（x）_max=f(2)=

2

3

综上所述：f(x)max=

9 2 - 3 2 a(a≤ 23 9 ) 2 3 (a＞ 23 9 )

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数求闭区间上函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．求函数在区间上的最值问题，应该先利用导数求出导函数的根对应的函数值及区间的端点对应的函数值，选出最值即可．