Question

已知P（4，-1），F为抛物线y²=8x的焦点，M为此抛物线上的点，且使|MP|+|MF|的值最小，则M点的坐标为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据抛物线的方程算出焦点为F（2，0），准线l的方程为：x=-2．利用抛物线的定义与平面几何知识，可知当且仅当点M，N，P共线时，|MP|+|MF|有最小值，进而可求出M的坐标．

解答： 解：∵抛物线为y²=8x，
∴2p=8，得

p

2

=2，可得焦点为F（2，0），准线l的方程为：x=-2．
过点M作MN⊥l，垂足为N，则
根据抛物线的定义，可得|MN|=|MF|．
由平面几何知识，当且仅当点M，N，P共线时，
|MP|+|MF|取得最小值，
此时M（

1

8

，-1）
故答案为：（

1

8

，-1）

点评：本题给出抛物线上的动点，求|MP|+|MF|的最小值，着重考查了抛物线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．