Question

已知S_n=4-a_n-

1

2n-2

，求a_n与S_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由数列递推式求出首项，取n=n-1得另一递推式，作差后可得数列{2ⁿa_n}构成以2为首项，以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得a_n，然后利用错位相减法求出其前n项和S_n．

解答： 解：由S_n=4-a_n-

1

2n-2

，得a1=S1=4-a1-

1

2-1

，解得：a₁=1；
当n≥2时，Sn-1=4-an-1-

1

2n-3

，
两式作差得：an=-an+an-1-

1

2n-2

+

1

2n-3

，
即an=

1

2

an-1+

1

2n-1

．
∴2nan-2n-1an-1=2（n≥2），
∴数列{2ⁿa_n}构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则2ⁿa_n=2+2（n-1）=2n，
∴an=

n

2n-1

；
Sn=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n-1

，

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
两式作差得：

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

，
∴Sn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．