Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为 ，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得： ，从而有b2=a2﹣c2=3，

所以椭圆E的标准方程为：

（2）解：设直线l的方程为y=k（x+2），代入为： ，

得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0

因为x=﹣2为该方程的一个根，解得B（ ， ），

设C（x0，y0），由kACkBC=﹣1，得： ，

即：（3+4k2）y02﹣12ky0+（16k2﹣12）=0 ①

由AC=BC，即AC2=BC2，得4+y02=（ ）2+（y0﹣ ）2，

即4= +（ ）2﹣ ，

即4（3+4k2）2=（6﹣8k2）2+144k2﹣24（3+4k2）y0…①，

所以k=0或y0= ，

当k=0时，直线l的方程为y=0，

当y0= 时，代入①得16k4+7k2﹣9=0，解得k= ，

此时直线l的方程为y=± （x+2）

综上，直线l的方程为y=0，y=± （x+2）

【解析】(1)根据椭圆的特性可得a、b的值进而得到椭圆的方程。（2）联立椭圆和直线的方程，点A在椭圆上，解得点B的坐标，利用设而不求法设出点C
的坐标，根据两条直线垂直斜率值即为-1得到关于x0、y0的一个方程，根据AC=BC得到另一个关于x0、y0的方程，联立两式解得k和y0的值，分情况讨论
当k=0时，直线l的方程为y=0，当时，求出k= ± ，进而得到直线的方程。