Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作直线PF垂直于该双曲线的一条渐近线l₁于P(

3

3

，

6

3

)．
（1）求该双曲线的方程；
（2）过点F作直线l₂交该双曲线于M，N两点，如果|MN|=4，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先由双曲线方程求出渐近线方程，再联立接触交点坐标，与P(

3

3

，

6

3

)为同一点，可求出a，b值，则双曲线方程可求．
（2）可先设带参数的直线l₂的方程，再代入双曲线方程，用弦长公式求出长度，与所给长度4相等，可求出参数的值，直线l₂的方程就能求出．

解答：解：（1）设F（c，0），l1：y=

b

a

x，PF：y=-

a

b

(x-c)
解方程组

y= b a x y=- a b (x-c)

得P(

a2

c

，

ab

c

)
又已知P(

3

3

，

6

3

)．∴a=1，b=

2

∴双曲线方程为x2-

y2

2

=1
（2）若直线l₂过右焦点为F（

3

，0），可设直线l₂的方程为x=my+

3

代入x2-

y2

2

=1，
得(2m2-1)y2+4

3

my+4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则y1+y2=-

4 3 m

2m2-1

，y1•y2=

4

2m2-1

∴|y1-y2|=

4 m2+1

|2m2-1|

故|MN|=

m2+1

•|y1-y2|=

4(m2+1)

|2m2-1|

∴

4(m2+1)

|2m2-1|

=4
解得：m=0或m=±

2

∴所求直线l₂的方程为x=

3

和y=±

2

2

(x-

3

)．

点评：本题主要考查直线与双曲线的位置关系，用到求交点坐标，以及弦长公式，做题时认真分析，找到正确解法．