Question

等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列
（Ⅰ）求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求a₁-a₃=3，求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）数列{na_n}的前n项的和T_n…

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意S₁，S₃，S₂成等差数列，可得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），
即 2a₃ +a₂=0，∴等比数列{a_n}的公比q==-．
（Ⅱ）∵a₁-a₃=3，∴=3，再由q=-可得 a₁=4，a_n =4．
（Ⅲ）数列{na_n}的前n项的和T_n =a₁+2a₂+3a₃+…+na_n =4[1+2（-）+3+…+n，
- T_n =4[（-）+2+3+…+n ]，
∴T_n =4[1+（-）+++…+-n ]，
∴T_n =×[-n]=×[-n ]．
分析：（Ⅰ）由题意可得2（a₁+a₂+a₃）=a₁+（a₁+a₂），由此求得公比q= 的值．
（Ⅱ）由 a₁-a₃=3和q=-可得a₁的值，从而求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）求出数列{na_n}的前n项的和T_n =4[1+2（-）+3+…+n，用错位相减法求出前n项的和T_n 的值．
点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．