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Sn是等比数列{an}的前n项和,对于任意正整数n,恒有Sn>0,则等比数列{an}的公比q的取值范围为
(-1,0)∪(0,+∞)
(-1,0)∪(0,+∞)
分析:易得a1>0,故只需
1-qn
1-q
>0恒成立,下面分类讨论:(1)当q>1时,显然成立;(2)当q=1时,a1>0,Sn>0一定成立;(3)当q<1时,需1-qn>0恒成立,再分当0<q<1时,当-1<q<0时,当q<-1时,当q=-1时,综合可得答案.
解答:解:q≠1时,有Sn=
a1(1-qn)
1-q

∵Sn>0,∴a1>0,
1-qn
1-q
>0恒成立,
(1)当q>1时,1-qn<0恒成立,即qn>1恒成立,
又q>1,显然成立,
(2)当q=1时,只要a1>0,Sn>0就一定成立.
(3)当q<1时,需1-qn>0恒成立,
当0<q<1时,1-qn>0恒成立,
当-1<q<0时,1-qn>0也恒成立,
当q<-1时,当n为偶数时,1-qn>0不成立,
当q=-1时,显然1-qn>0也不可能恒成立,
所以q的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
故答案为:(-1,0)∪(0,+∞).
点评:本题考查数列{an}的公比的取值范围的求法,注意分类讨论思想的合理运用,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题正确的有
 
(把所有正确命题的序号填在横线上):
①若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),则m+n=s+t;
②若Sn是等差数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列;
③若Sn是等比数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列;
④若Sn是等比数列{an}的前n项的和,且Sn=Aqn+B;(其中A、B是非零常数,n∈N*),则A+B为零.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的公比q;
(Ⅱ)求证:a3,a9,a6成等差数列;
(Ⅲ)当am,as,at(m,s,t∈[1,10],m,s,t互不相等)成等差数列时,求m+s+t的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设Sn是等比数列{an}的前n项和,
(1)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
(2)设p,r,t,k,m,n∈N*,且p,r,t成等差数列,若pSk,rSm,tSn成等差数列,试判断pak+1,ram+1,tan+1三者关系,并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是等比数列{an}的前n项和,其公比为q,若S3、S9、S6成等差数列.求
(1)q3的值;
(2)求证:a3、a9、a6也成等差数列.

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科目:高中数学 来源: 题型:

Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4=24,S8=36,则S12等于(  )

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