Question

S_n是等比数列{a_n}的前n项和，对于任意正整数n，恒有S_n＞0，则等比数列{a_n}的公比q的取值范围为

（-1，0）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：易得a₁＞0，故只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分类讨论：（1）当q＞1时，显然成立；（2）当q=1时，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，再分当0＜q＜1时，当-1＜q＜0时，当q＜-1时，当q=-1时，综合可得答案．

解答：解：q≠1时，有S_n=

a1(1-qn)

1-q

∵S_n＞0，∴a₁＞0，
则

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）当q＞1时，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，显然成立，
（2）当q=1时，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）当q＜1时，需1-qⁿ＞0恒成立，
当0＜q＜1时，1-qⁿ＞0恒成立，
当-1＜q＜0时，1-qⁿ＞0也恒成立，
当q＜-1时，当n为偶数时，1-qⁿ＞0不成立，
当q=-1时，显然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范围为（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：（-1，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查数列{a_n}的公比的取值范围的求法，注意分类讨论思想的合理运用，属中档题．