Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，又W_n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，如果a₈=10，那么S₁₅：W₁₅=

100

．

Answer 1

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，数列{

1

an

}也为等比数列，公比为

1

q

．利用等比数列前n项和公式，寻找出S_n，W_n的关系，结合数据a₈=10进一步求解．

解答：解：设等比数列{a_n}的公比为q，（q≠0），易知数列{

1

an

}也为等比数列，公比为

1

q

．
等比数列{a_n}的前n项和为S_n=

a1(1-qn) 1-q ，  q≠1 na1，     q=1

则q≠1时，W_n=

1

a1

•

1- 1 qn

1- 1 q

=

1

a12qn-1

•

a1(1-qn)

1-q

=

Sn

a12qn-1

∴

Sn

Wn

=a12qn-1，
∴

S15

W15

=a12q14=(a1q7)2=a82=100．
若q=1，则

S15

W15

=

15×10

15× 1 10

=100
故答案为：100．

点评：本题考查等比数列前n项和公式及应用．要注意对公比q是否为1进行讨论．