Question

15．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆的短轴长为2．
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求函数z=x²+y²-3的最值，并指出取得最值时，点P的位置；
（2）过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆的短轴长为2，求出a，b，求得椭圆方程，再求出函数z=x²+y²-3的最值，并指出取得最值时，点P的位置；
（2）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆的短轴长为2．
∴a=2，b=1
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
z=x²+y²-3=z=x²+1-$\frac{1}{4}$x²-3=$\frac{3}{4}$x²-2，
∴x=0时，z取得最小值-2，P为椭圆的短轴顶点；x=±2时，z取得最大值1，P为椭圆的长轴顶点；
（2）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程，消去y，整理得：（k²+$\frac{1}{4}$）x²+4kx+3=0
∴x₁+x₂=-$\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$，x₁x₂=$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
由△=（4k）²-4（k²+$\frac{1}{4}$）×3=4k²-3＞0得：k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$①
又0°＜∠AOB＜90°?cos∠AOB＞0，
cos∠AOB＞0?$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞0
∴x₁x₂+y₁y₂＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=k²×$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$+2k×（-$\frac{4k}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$ ）+4=$\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$
∴$\frac{3}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$+$\frac{-{k}^{2}+1}{{k}^{2}+\frac{1}{4}}$＞0
即k²＜4，∴-2＜k＜2②
故由①、②得：
-2＜k＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k＜2．

点评 本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．