【题目】如图,四棱锥中,底面
是边长为2的正方形,
,且
,
为
中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得点
到平
面的距离为
?若存在,确定点
的位置;
若不存在,请说明理由.
【答案】解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
∴,又
,
∴平面
,
∴. 2分
同理, 4分
∴平面
.
5分
(Ⅱ)解:设为
中点,连结
,
又为
中点,
可得,从而
底面
.
过 作
的垂线
,垂足为
,连结
.
由三垂线定理有,
∴为二面角
的平面角. 7分
在中,可求得
∴. 9分
∴ 二面角的大小为
. 10分
(Ⅲ)解:由为
中点可知,
要使得点到平面
的距离为
,
即要点到平面
的距离为
.
过 作
的垂线
,垂足为
,
∵平面
,
∴平面平面
,
∴平面
,
即为点
到平面
的距离.
∴,
∴. 12分
设,
由与
相似可得
,
∴,即
.
∴在线段上存在点
,且
为
中点,使得点
到平面
的距离为
.
14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系, 6分
则.
设为平面
的一个法向量,
则,
.
又
令则
得. 8分
又是平面
的一个法向量,
9分
设二面角的大小为
,
则.
∴ 二面角的大小为
. 10分
(Ⅲ)解:设为平面
的一个法向量,
则,
.
又,
令则
得. 12分
又
∴点到平面
的距离
,
∴,
解得,即
.
∴在线段上存在点
,使得点
到平面
的距离为
,且
为
中点.14分
【解析】
试题分析:解法一:
(Ⅰ)证明:∵底面为正方形,
∴,又
,
∴平面
,
∴. 2分
同理, 4分
∴平面
.
5分
(Ⅱ)解:设为
中点,连结
,
又为
中点,
可得,从而
底面
.
过 作
的垂线
,垂足为
,连结
.
由三垂线定理有,
∴为二面角
的平面角. 7分
在中,可求得
∴. 9分
∴ 二面角的大小为
. 10分
(Ⅲ)解:由为
中点可知,
要使得点到平面
的距离为
,
即要点到平面
的距离为
.
过 作
的垂线
,垂足为
,
∵平面
,
∴平面平面
,
∴平面
,
即为点
到平面
的距离.
∴,
∴. 12分
设,
由与
相似可得
,
∴,即
.
∴在线段上存在点
,且
为
中点,使得点
到平面
的距离为
.14分
解法二:
(Ⅰ)证明:同解法一.
(Ⅱ)解:建立如图的空间直角坐标系, 6分
则.
设为平面
的一个法向量,
则,
.
又
令则
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为
,椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合,过点
且不垂直于
轴的直线
与椭圆
相交于
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,直线
交圆
于
,
两点,过点
作
的平行线交
于点
.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线
,直线
交
于
,
两点,过点
且与直线
垂直的直线与圆
交于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数的图象恰好通过
个整点,则称函数
为
阶整点函数.有下列函数:
①; ②
③
④
,
其中是一阶整点函数的是( )
A. ①②③④ B. ①③④ C. ①④ D. ④
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我们可以把看作每天的"进步”率都是1%,一年后是
;而把
看作每天的“落后”率都是1%,一年后是
.利用计算工具计算并回答下列问题:
(1)一年后“进步”的是“落后”的多少倍?
(2)大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com