Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4

5

．
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）欲证平面MBD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直，而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD；
（II）过P作PO⊥AD交AD于O，根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD，从而PO为四棱锥P-ABCD的高，四边形ABCD是梯形，根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4，BD=8，AB=4

5

，
所以AD²+BD²=AB²．故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
又BD?平面MBD，
故平面MBD⊥平面PAD．

（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P-ABCD的高，
又△PAD是边长为4的等边三角形．因此PO=

3

2

×4=2

3

．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，
所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为

4×8

4 5

=

8 5

5

，
此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S=

2 5 +4 5

2

×

8 5

5

=24．
故VP-ABCD=

1

3

×24×2

3

=16

3

．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及棱锥的体积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．