【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设Tn= ,求证:Tn< .
【答案】
(1)解:数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
令n=1时,2S1=3a1﹣1,解得:a1=1
(2)解:由于:2Sn=(n+2)an﹣1①
所以:2Sn+1=(n+3)an+1﹣1②
②﹣①得:2an+1=(n+3)an+1﹣(n+2)an,
整理得: ,则 ,即 .
∵ ,
∴ ,…, ,
利用叠乘法把上面的(n﹣1)个式子相乘得: = ,
∴ ,当n=1时,a1=1符合上式,
∴数列的通项公式是 .
(3)证明:∵ ,∴ ,
∴ =2( ),
∴Tn=
=2( …+ )
=2( )<2( )= .
故Tn< .
【解析】(1)令n=1可得a1的值;(2)由已知条件可得2Sn+1=(n+3)an+1﹣1,作差可得=,利用叠乘法可得数列{an}的通项公式;(3)利用裂项法可得Tn,进而可证Tn<.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的通项公式的相关知识,掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】设集合M={x|x<2},集合N={x|0<x<1},则下列关系中正确的是( )
A.M∪N=R
B.M∪RN=R
C.N∪RM=R
D.M∩N=M
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【题目】某服装批发市场1-5月份的服装销售量与利润的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售量 (万件) | 3 | 6 | 4 | 7 | 8 |
利润 (万元) | 19 | 34 | 26 | 41 | 46 |
(1)从这五个月的利润中任选2个,分别记为, ,求事件“, 均不小于30”的概率;
(2)已知销售量与利润大致满足线性相关关系,请根据前4个月的数据,求出关于的线性回归方程;
(3)若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元,则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由(2)中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.参考公式: .
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【题目】已知函数f(x)=|x+2a|+|x﹣1|,a∈R.
(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;
(2)若f(x)≥2对于x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知向量,,设函数.
(1)若函数的图象关于直线对称,且时,求函数的单调增区间;
(2)在(1)的条件下,当时,函数有且只有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益与投入(单位:万元)满足,乙城市收益与投入(单位:万元)满足,设甲城市的投入为(单位:万元),两个城市的总收益为(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
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【题目】已知函数,其中
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断并证明函数在上的单调性;
(3)是否存在这样的负实数,使对一切恒成立,若存在,试求出取值的集合;若不存在,说明理由
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【题目】已知数列{an}满足:2a1+22a2+23a3+…+2nan=n(n∈N*),数列{ }的前n项和为Sn , 则S1S2S3…S10= .
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【题目】某手机厂商推出一次智能手机,现对500名该手机使用者(200名女性,300名男性)进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:
女性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
频数 | 20 | 40 | 80 | 50 | 10 | |
男性用户 | 分值区间 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
频数 | 45 | 75 | 90 | 60 | 30 |
(1)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的方差大小(不计算具体值,给出结论即可);
(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意取3名用户,求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望.
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