Question

已知定义在R上的函数f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函数．
（I）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由于定义在R上的函数f（x）=

a-2x

2x+1

是奇函数，可得f（0）=0，由此求得a的值．
（Ⅱ）由上可得 f（x）=

1-2x

2x+1

=

2

1+2x

-1，利用函数的单调性的定义证明函数f（x）是R上的减函数．
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=
f（-2t²+k） 恒成立，等价于3t²-2t-k＞0恒成立，故有判别式△=4+12k＜0，由此求得k的范围．

解答：解：（I）由于定义在R上的函数f（x）=

a-2x

2x+1

 是奇函数，
故有f（0）=0，即

a-1

2

=0，解得 a=1．
（Ⅱ）由上可得 f（x）=

1-2x

2x+1

=

2

1+2x

-1，设x₁＜x₂，
可得f（x₁）-f（x₂）=（

2

1+2x1

-1）-（

2

1+2x2

-1）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

．
由题设可得2x2-2x1＞0，（1+2x2）（1+2x1）＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）是R上的减函数．
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k） 恒成立，
等价于 t²-2t＞-2t²+k恒成立，等价于3t²-2t-k＞0恒成立，故有判别式△=4+12k＜0，
解得k＜-

1

3

，故k的范围为（-∞，-

1

3

）．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．