Question

如图，在正方体OPRS-ABCD中，底面ABCD边长为2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的正切值；
（Ⅱ）求点M到平面OCD的距离．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）如图所示，设线段AC的中点为E，连接ME．利用三角形的中位线定理可得：ME∥OC，因此∠EMD或其补角为异面直线OC与MD所成角．利用勾股定理的逆定理可得∠MED=90°．利用tan∠EMD=

DE

EM

即可得出．
（II）作MF⊥OD于F，利用正方体的性质、线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADO．即可得到MF⊥平面OCD．

解答： 解：（I）如图所示，设线段AC的中点为E，连接ME．
则ME∥OC，
∴∠EMD或其补角为异面直线OC与MD所成角．
DE=

2

，EM=

1

2

OC=

3

，MD=

5

，
∵(

2

)2+(

3

)2=(

5

)2，
∴∠MED=90°．
∴tan∠EMD=

DE

EM

=

2

3

=

6

3

．
（Ⅱ）作MF⊥OD于F，
∵CD⊥平面ADO．
∴CD⊥MF．
∴MF⊥平面OCD．
∴点M到平面OCD的距离MF=

1

4

AS=

1

4

×2

2

=

2

2

．

点评：本题考查了正方体的性质、异面直线所成的角、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、点到平面的距离，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．