Question

20．如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG∥AB，同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．四边形EFGH为平行四边形．又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．

解答 解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；
同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，（0≤x≤1）
FG=2x，HG=2（1-x）
S_EFGH=FG×HG=4x（1-x）
=-4（${x}^{2}-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$）
=-4$（x-\frac{1}{2}）^{2}+1$
根据二次函数的性质可知：S_EFGH面积的最大值1．
故选：C．

点评 本题考查了四面体ABCD中的对称性来证明四边形是矩形．同时考查了动点的问题以及灵活性的运用．属于难题．