【题目】已知椭圆:的离心率为
,圆
的圆心与椭圆C的上顶点重合,点P的纵坐标为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C交于A,B两点,探究:在椭圆C上是否存在一点Q,使得,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)不存在.
【解析】
(2)求出圆心的坐标,得到.结合椭圆的离心率及
列方程组,解方程组求得
的值,进而求得椭圆的标准方程.(2)首先假设存在这样的
点,设出
的坐标以及直线
的方程,得到
两点的坐标,代入
,联立直线
的方程和椭圆方程,求得判别式.将
点坐标代入椭圆方程,同样求其判别式.两次求得的判别式没有交集,故不存在这样的
点.
(1)由椭圆的离心率,则
,b2=a2﹣c2=c2,
由x2+y2﹣2y=0的标准方程x2+(y﹣1)2=1,则b=1,c=1,a=,
∴椭圆的标准方程:;
(2)假设存在Q,使得满足,
设A(x1,y1),B(x2,y2).直线l:y=2x+m,
则Q(x0,y0),P(p,),则
=(x1﹣p,y1﹣
),
=(x0﹣x2,y0﹣y2),
由,则
,
,则
,整理得:9x2+8mx+2m2﹣2=0,
则△=(8m)2﹣4×9×(2m2﹣2)=8(9﹣m2)>0,解得:﹣3<m<3,①
则x1+x2=﹣m,y1+y2=2(x1+x2)+2m=
m, 则x0=﹣
m﹣p,y0=
m﹣
,
由Q(x0,y0)在椭圆上,则x02+2y02=2,
∴(﹣m﹣p)2+2(
m﹣
)2=2,整理得:9p2+16mp+8m2﹣
m+32=0有解,
则△2=(16m)2﹣4×9(8m2﹣m+32)=648﹣32(m﹣
)2≥0,
解得:3≤m≤12,② ①②无交集,因此不存在Q,使得.
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【题目】每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间,但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系,在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数,得到了如下数据:
温差 | 8 | 10 | 11 | 12 | 13 |
发芽数 | 79 | 81 | 85 | 86 | 90 |
(1)请根据统计的最后三组数据,求出关于
的线性回归方程
;
(2)若由(1)中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗,则认为线性回归方程是可靠的,试判断(1)中得到的线性回归方程是否可靠;
(3)若100颗小麦种子的发芽率为颗,则记为
的发芽率,当发芽率为
时,平均每亩地的收益为
元,某农场有土地10万亩,小麦种植期间昼夜温差大约为
,根据(1)中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.
附:在线性回归方程中,
.
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【题目】某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标,对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否,直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性,为此,该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位:万元),绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)①根据图中数据,求出月销售额在小组内的频率.
②根据直方图估计,月销售目标定为多少万元时,能够使70%的推销员完成任务?并说明理由.
(2)该公司决定从月销售额为和
的两个小组中,选取2位推销员介绍销售经验,求选出的推销员来自同一个小组的概率.
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【题目】对于函数与
,若存在实数
满足
,且
,则称
为
的一个
点.
(1)证明:函数与
不存在
的
点;
(2)若函数与
存在
的
点
,求
的范围;
(3)已知函数,证明:存在正实数
,对于区间
内任意一个
皆是函数
的
点.
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【题目】一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(2)表示所取3张卡片上的数字的中位数,求
的分布列与数学期望.
(注:若三个数满足
,则称
为这三个数的中位数).
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【题目】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形
后构成的).已知
,线段
与弧
、弧
的长度之和为
米,圆心角为
弧度.
(1)求关于
的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为,试问
取何值时,
的值最大?并求出最大值.
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【题目】已知椭圆(
为参数),A,B是C上的动点,且满足
(O为坐标原点),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,点D的极坐标为
.
(1)求椭圆C的极坐标方程和点D的直角坐标;
(2)利用椭圆C的极坐标方程证明为定值.
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【题目】某地区工会利用“健步行”开展明年健步走积分奖励活动.会员每天走5千步可获积分30分(不足5千步不积分),每多走2千步再积20分(不足2千步不积分).为了解会员的健步走情况,工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员,统计了当天他们的步数,并将样本数据分为
,
,
,
,
,
,
,
,
九组,整理得到如下频率分布直方图:
(1)从当天步数在,
,
的会员中按分层抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求这2人积分之和不少于220分的概率;
(2)求该组数据的中位数.
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