【题目】对于函数与
,若存在实数
满足
,且
,则称
为
的一个
点.
(1)证明:函数与
不存在
的
点;
(2)若函数与
存在
的
点
,求
的范围;
(3)已知函数,证明:存在正实数
,对于区间
内任意一个
皆是函数
的
点.
【答案】(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
【解析】
(1)通过证明证得命题成立.(2)构造函数
,利用导数研究函数
的单调性,求得最小值,由此证得
在
上恒成立.然后分成
两种情况讨论,由此求得
的取值范围.(3)取
,利用导数证明所取正实数
符合题意.
(1)证明:因为恒成立,
所以,不存在实数满足
,
故不存在的
点
(2)构造函数F(x)==
,
函数F(x)的定义域为(0,+∞),
=0,得:x=1,
x | (0,1) | 1 | (1,+∞) |
- | 0 | + | |
F(x) | ↘ | ↗ |
x=1是F(x)的唯一极小值点,也是最小值点,
所以,F(x)min=F(1)=0,即F(x)≥0恒成立,
所以,在定义域(0,+∞)内,x0-1≥lnx0恒成立,
当x0≥1时,|x0-1|=x0-1,|lnx0|=lnx0,
因为x0-1≥lnx0恒成立,所以,|x0-1|≥|lnx0|恒成立,为
的一个
点.
当0<x0<1时,|x0-1|=-(x0-1),|lnx0|=-lnx0,
由x0-1≥lnx0,得:-(x0-1)≤-lnx0,即|x0-1|≤|lnx0|,此时不是
的一个
点.
所以,的取值范围为[1,+∞).
(3)证明:取,因为
,所以
,下面证明所取正实数
符合题意.当
时,,有
,且
显然成了又因为当
时,有
,所以
.故当
时,
即
恒成立,即存在正实数
,对于区间
内任一个
皆是函数
的
点.
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【题目】设函数的最小正周期为
,且其图象关于直线
对称,则在下面结论中正确的个数是__________.
①图象关于点对称;②图象关于点
对称;③在
上是增函数;④在
上是增函数;⑤由
可得
必是
的整数倍.
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【题目】函数的图象的对称轴之间的最短距离为
,且经过点
.
(1)写出函数的解析式;
(2)若对任意的,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求实数和正整数
,使得
在
上恰有2017个零点.
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【题目】某学校为了解学生对食堂用餐的满意度,从全校在食堂用餐的3000名学生中,随机抽取100名学生对食堂用餐的满意度进行评分.根据学生对食堂用餐满意度的评分,得到如图所示的频率分布直方图,
(1)求频率分布直方图中a的值及该样本的中位数
(2)规定:学生对食堂用餐满意度的评分不高于80分为“不满意”,试估计该校在食堂用餐的3000名学生中“不满意”的人数.
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【题目】有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有__________.
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【题目】已知椭圆:的离心率为
,圆
的圆心与椭圆C的上顶点重合,点P的纵坐标为
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若斜率为2的直线l与椭圆C交于A,B两点,探究:在椭圆C上是否存在一点Q,使得,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】若α是第一象限角,则sinα+cosα的值与1的大小关系是( )
A. sinα+cosα>1B. sinα+cosα=1C. sinα+cosα<1D. 不能确定
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【题目】在的方格表中,每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一,若每个
的子方格表包含每种颜色的格均为一,称此染法为“均衡”的.则所有不同的均衡的染法有__________种.
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