Question

【题目】已知函数f（x）=ln（+mx）（m∈R）．

（Ⅰ）是否存在实数m，使得函数f（x）为奇函数，若存在求出m的值，若不存在，说明理由；

（Ⅱ）若m为正整数，当x＞0时，f（x）＞lnx++，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）m=±1（Ⅱ）5

【解析】

（Ⅰ）根据奇函数的定义即可求出m的值，

（Ⅱ）问题转化为ln（1+m）＞+，令g（t）=ln（1+t）-，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，代值验证即可

解：（Ⅰ）存在，m=±1，

理由如下：∵f（x）=ln（+mx），

∴f（-x）=ln（-mx），

∵f（x）为奇函数，

∴f（-x）=-f（x），

即ln（-mx）=-ln（+mx），

即ln（（1-m2）x2+1）=0恒成立，

∴m=±1，

检验：当m=±1时，f（x）是奇函数，

（Ⅱ）由题意得：当x＞0时，ln（+mx）＞lnx++，

即ln（+m）＞+，

y=ln（+m）单调递减，

∴ln（+m）＞ln（1+m），

即只要ln（1+m）＞+，

令g（t）=ln（1+t）-，则g（t）在（0，+∞）上单调递增，

当m=1时，ln2＞1+不成立，

当m=2时，ln3＞+不成立，

当m=3时，ln4＞+不成立，

当m=4时，ln5＞+不成立，

当m=5时，ln6=ln2+ln3≈1.7921＞+=1.7成立，

故正整数m的最小值是5