Question

已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x-2）对任意x∈[

1

2

，1]都成立，则实数a的取值范围是

（-∞，-5]

．

Answer 1

分析：根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，进而可将f（ax+1）≤f（x-2）对任意x∈[

1

2

，1]都成立，转化为ax+1≤x-2对任意x∈[

1

2

，1]都成立，即a≤

x-3

x

=1-

3

x

对任意x∈[

1

2

，1]都成立，即a小于等于函数y=1-

3

x

在[

1

2

，1]的最小值，利用单调性法求出函数y=1-

3

x

在[

1

2

，1]的最小值，可得实数a的取值范围

解答：解：根据奇函数在对称区间上单调性相同且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
若f（ax+1）≤f（x-2）对任意x∈[

1

2

，1]都成立，
则ax+1≤x-2对任意x∈[

1

2

，1]都成立，
即a≤

x-3

x

=1-

3

x

对任意x∈[

1

2

，1]都成立，
由函数y=1-

3

x

在[

1

2

，1]为增函数，
故x=

1

2

时，最最小值-5
即a≤-5
故实数a的取值范围是（-∞，-5]
故答案为：（-∞，-5]

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．