Question

P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上任一点，F₁，F₂为左右焦点
（1）求椭圆的顶点坐标，长轴长、短轴长及离心率；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的a，b，c，运用离心率公式，即可得到椭圆的顶点坐标，长轴长、短轴长及离心率；
（2）运用余弦定理和椭圆的定义，结合配方，即可得到所求值．

解答： 解：（1）椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的a=5，b=4，则c=

a2-b2

=3，
则椭圆的顶点坐标为（5，0），（-5，0），（0，4），（0，-4），
长轴长10，短轴长8，及离心率e=

c

a

=

3

5

；
（2）由于|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
在△PF₁F₂中，cos60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|-4c2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1=

1

2

，
即有|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．