如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F,G分别是棱C1D1,AA1的中点.设点E1,G1分别是点E,G在平面DCC1D1内的射影.
(1)求以E为顶点,以四边形FGAE在平面DCC1D1内的射影为底面的棱锥的体积;
(2)求证:直线FG1⊥平面FEE1;
(3)求异面直线E1G1与EA所成的角的正弦值.
(1)解:根据题意可知,所求体积即为四棱锥E-FG1DE1的体积.因为点E1,G1分别为棱CC1,DD1的中点,所以=22-×2×1-2××1×1=2.又因为点E到平面DCC1D1的距离为EE1=1,故=×2×1=. (2)证明:在正方形DCC1D1中,FG1=FE1=,G1E1=2,FG12+FE12=G1E12,故FG1⊥FE1.又EE1⊥平面DCC1D1,FG1平面DCC1D1,所以EE1⊥FG1因为FE1∩EE1=E1,所以FG1⊥平面FEE1. (3)解:因为E1G1∥CD,AB∥CD,所以E1G1∥AB,所以∠EAB即为异面直线E1G1与EA所成的角.因为AB⊥平面BCC1B1,BE平面BCC1B1,所以AB⊥BE.在Rt△ABE中,AB=2,BE=,AE=,所以sin∠EAB===.所以异面直线E1G1与EA所成角的正弦值为. |
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